Usado para referirse a endulzar o suavizar una situación complicada haciéndola pasar con más fluidez, similar a 'darle un empujoncito' pero con más sazón.
Ya se complicó el asunto con tu suegra, mejor échale aceite antes de que quiera llamar a tu mamá.
Decir que alguien le echa aceite significa que siempre está en problemas, como una rueda chirriante sin mantenimiento.
El Pancho siempre anda metido en líos. A ese cabro hay que echarle aceite urgentemente.